Calcolare stanca - MamianiLab - Liceo Mamiani Roma

• Introduzione
  

I grandi sviluppi dell’aritmetica e dei calcoli (da Calculus = sassolino) sono sempre stati in relazione alle esigenze poste dagli sviluppi della navigazione, del commercio, delle grandi costruzioni, sin dai tempi più antichi.
Non a caso la numerazione posizionale, che ancora oggi usiamo, ha il nome di arabico – indiana. Nei secoli che seguirono alla spaventosa crisi dell’Impero Romano d’Occidente l’economia dell’Europa è spezzettata e debolissima (sistema del “feudo”, isolato e chiuso), mentre gli Indiani e gli Arabi, che percorrono i mari e estendono i loro commerci dalla Spagna alla Cina, hanno bisogno di tenere conti, lunghi e talvolta complicati.
Non è un caso che Leonardo figlio di Bonaccio (Fibonacci), pisano, faccia entrare lui, e non un altro di un’altra città, il nuovo algoritmo arabo – indiano (1202, Liber abaci). Leonardo è figlio di un ispettore doganale che lavora a Bougie, porto dell’Algeria; gira come mercante il mediterraneo, si ritira poi a Pisa, e scrive quello che ha imparato, con l’aggiunta della sua grande capacità di “teorizzazione”
Nel Cinquecento la monarchia, appoggiandosi sulla borghesia urbana, spezzò il potere della nobiltà feudale e fondò i grandi regni. I limiti dell’antico orbis terrarum furono infranti, la terra fu veramente scoperta e furono gettate le basi per il futuro commercio mondiale.
Quella possente epoca fu anche, e non a caso, il secolo del calcolo. La vecchia tecné – l’arte dei marchingegni per facilitare calcoli, tanto vituperata dal pensiero greco contrario all’uso in matematica di strumenti che non fossero riga e compasso – cominciava a prendersi le sue rivincite. C’era bisogno di nuovi strumenti di calcolo rapido, il più possibile automatico.
Ne ricorderemo qualcuno. Essi sono i progenitori delle grandi macchine calcolatrici (Computers) di oggi. Riportiamo un breve storia del calcolatore.

• Abaco giapponese
  

Le numerazioni dell’antichità, compresa quella romana, non erano adatte per fare i calcoli. In verità per calcolare si servivano degli abachi, tavolette suddivise in colonne su cui o si spalmavano delle sostanze come cera o sabbia e si incidevano poi con lo stilo i numeri (sistemi dei mercanti greci), oppure si ponevano dei sassolini (calculi) come facevano i romani. Alle volte le tavolette divise in colonnine erano al suolo, facevano parte del pavimento: se ne sono trovate parecchie in scavi archeologici. Il termine latino abacus deriva dal greco άβαξ , e questo probabilmente dall’ebraico abaq (polvere), in riferimento agli abachi a polvere.
Come tutti gli abachi anche il soroban ha una logica posizionale, nel senso che le perline non valgono sempre la stessa quantità. In particolare le perline dell’estrema destra valgono 1, ma quella che si trova sopra il divisorio vale 5. La colonna immediatamente alla sinistra rappresenta le decine con la corrispondente perlina da 50. La colonna ancora più a sinistra rappresenta le centinaia con al corrispondente perlina da 500. Le perline hanno valore quando si trovano accostate al divisorio. Per azzerare il soroban è sufficiente premere sul pulsante che riporta tutte le palline lontano dal divisorio.
La difficoltà maggiore, nell’uso dell’abaco, sta nell’abilità che si deve acquisire nel movimento delle dita. Basta un piccolo errore e si deve ricominciare tutti da capo, perché un pallottoliere non registra i dati intermedi.


Illustrazione dai un libro di testo giapponese del 1950 in cui viene indicato quali dita usare per muovere nel modo più veloce le palline sulle asticciole.

Per rappresentare un numero si spostano le palline corrispondenti verso la barra orizzontale. Le perline in basso vengono mosse con il pollice per spostarle in alto e con l’indice per spostarle in basso. Le perline in alto vengono mosse sempre con l’indice.

• Compasso di Galileo
  

Pochi sanno che il grande Galileo (1564- 1642) aveva a Padova una vera e propria officina alla quale dedicava non poche ore di ogni sua giornata, e nella quale valenti artigiani costruivano, secondo le sue disposizioni e sotto il suo controllo, uno strumento di calcolo pratico, da vendere come merce: il compasso geometrico e militare (come costruirlo)
Nel giugno del 1606 Galileo fece stampare, nella propria casa di Padova, dal tipografo Pietro Marinelli, 60 copie de Le operazioni del compasso geometrico e militare. L'opuscolo veniva venduto insieme a un esemplare dello strumento di cui descriveva le molteplici applicazioni. Forse allo scopo di prevenire eventuali plagi della propria invenzione, Galileo omise di spiegare la costruzione delle linee proporzionali. Il testo è preceduto da una Dedica al giovane Principe Cosimo de' Medici (1590-1621), che Galileo istruì personalmente all'uso del compasso, e da un Proemio ai Lettori in cui lo scienziato rivela particolari importanti della sua invenzione.
Il nome di compasso gli deriva dalla forma, la parentela con il regolo gli spetta per l'uso di opportune scale numeriche. Non serve a disegnare circonferenze. Si tratta di uno strumento complesso, basato sul teorema di Talete e sull’uso intelligente di scale quadratiche e cubiche.
I due principi di calcolo grafico sui quali era basato il compasso sono:

1. sfruttamento della proporzionalità tra lati corrispondenti di due triangoli simili,

2. uso di scale diverse.   

Galileo Galilei (1564-1642), disegno originale da Del Compasso geometrico e militare

Il compasso di Galileo si serve, oltre che di scale numeriche, della costanza dei rapporti di lati corrispondenti di triangoli simili: questa importante funzionalità non è utilizzata negli ordinari regoli calcolatori. La destinazione fondamentale del Compasso è determinare segmenti multipli, secondo una varietà di fattori, di campioni assegnati. A questa capacità se ne aggiungono altre relative ai quadrati e ai cubi delle lunghezze, quindi a misure di superficie e di volume e, in definitiva, di peso.

Il Teorema di Talete

La funzione base del Compasso deriva dalla costanza dei rapporti delle dimensioni di triangoli simili, quindi dalla lettura intelligente del teorema di Talete sulle parallele.
Il teorema di Talete riguarda i rapporti di segmenti corrispondenti ricavati tagliando una famiglia di rette parallele con due secanti (qualsiasi).
Indicati con A e A', B e B' coppie di punti corrispondenti, il teorema di Talete riconosce che

Si tratta del fenomeno generalmente indicato con la parola similitudine riferito ai due triangoli OAA’e OBB’triangoli, appunto, riconosciuti come simili.

L’invenzione
Nel corso del Rinascimento furono molti i tentativi di elaborare uno strumento universale che permettesse di eseguire agilmente calcoli aritmetici e operazioni geometriche. L’esigenza era sentita soprattutto in campo militare dove la tecnologia delle armi da fuoco richiedeva sempre più precise cognizioni matematiche. A queste esigenze rispondono i primi compassi di proporzione messi a punto nella seconda metà del XVI secolo, tra i quali alcuni singolari strumenti noti col nome di "radio latino" o "proteo militare". Il compasso geometrico e militare di Galileo appartiene a questa categoria di strumenti. Inventato a Padova nel 1597, lo strumento è da mettere in relazione all’attività di Galileo in seno all’Accademia Delia, fondata nella città veneta per l’istruzione matematica dei giovani nobili destinati alla carriera militare. Le sette linee proporzionali tracciate sulle gambe del compasso e le quattro scale segnate sul quadrante, consentivano di effettuare con estrema facilità ogni sorta di operazione aritmetica e geometrica: dal calcolo degli interessi all’estrazione delle radici quadrate e cubiche, dal disegno dei poligoni al calcolo di aree e volumi, dalla misura dei calibri al rilevamento del territorio. Tra il 1598 e il 1604, Galileo istruì all'uso del suo compasso alcuni sovrani europei, quali il Principe Giovanni Federico di Alsazia, l'Arciduca Ferdinando d'Austria, il Langravio Filippo di Assia e il Duca di Mantova.

La fortuna dello strumento
Il successo dello strumento spinse Galileo a divulgare ulteriormente la sua invenzione. Nel 1606 pubblicò 60 copie de Le operazioni del compasso geometrico e militare, vendendole privatamente insieme ad altrettanti esemplari dello strumento. La produzione dei compassi, dalla quale Galileo ricavò sostanziosi profitti, fu affidata a un artigiano che lo scienziato ospitò per alcuni anni nella propria abitazione. La pubblicazione del trattato suscitò subito grande interesse, tanto da provocare un’aspra polemica nel mondo accademico sulla paternità dell’invenzione. Già nel 1607 Baldassarre Capra, uno degli studenti di Galileo, tentò di accreditarsi l’invenzione dello strumento negli ambienti più colti, pubblicando un trattato in latino sulle sue operazioni. Altri detrattori di Galileo tentarono di attribuire il primato dell’invenzione al matematico olandese Michel Coignet, e molte furono le varianti dello strumento che, con l’aggiunta di nuove linee proporzionali, ne estesero successivamente i campi di applicazione. Specifici trattati furono scritti da Michel Coignet che lo chiamò "compasso pantometro", da Muzio Oddi che lo chiamò "compasso polimetro", da Ottavio Revesi Bruti che, dotandolo solo di linee proporzionali per il disegno degli ordini architettonici, lo chiamò "archisesto", da Girard Desargues e altri matematici francesi che, dotandolo di linee proporzionali per il disegno prospettico, lo chiamarono "compasso ottico o di prospettiva". Numerose varianti furono elaborate per tutto il XVII e XVIII secolo, mentre nel corso del XIX secolo, il compasso di proporzione fu gradualmente sostituito dalla diffusione di raffinatissimi regoli calcolatori che sopravvissero negli studi tecnici degli ingegneri, degli architetti e dei geometri fino al recentissimo avvento del computer.

• Bastoncini di Nepero
  

Se mai Nepero (1550-1617) avesse dovuto sintetizzare in un suo motto il leit motiv della sua ricerca, certo avrebbe scelto qualcosa di simile all’espressione "calcolare stanca".
Egli fece di tutto per ovviare a questo inconveniente: ideò i logaritmi per risolvere i problemi di calcolo degli astronomi e, pensando ad esigenze più limitate, promosse la realizzazione di semplici strumenti che agevolassero il calcolo ripetitivo di moltiplicazioni e divisioni.
Così scrive Nepero stesso:
Eseguire dei calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica. Ho cercato sempre - usando tutti i mezzi che avevo a disposizione e con le forze che il mio intelletto mi ha dato di rendere più agevole e spedito questo processo. È con questo scopo ben fisso nella mente che ho elaborato il metodo dei logaritmi, a cui ho dedicato molti anni di studio...Nello stesso tempo, a beneficio di chi volesse far uso solo dei numeri naturali, ho predisposto altri tre brevi metodi di semplificazione dei calcoli. Il primo dei quali e stato battezzato Rabdologia e si basa sull'uso di alcune asticelle su cui sono scritti i numeri...      

Ioanne Nepero, frontespizio Radbologia (Edimburgo,1617)

Il metodo "rabdologico" prevedeva l'uso di uno strumento costituito da una serie di dieci o più bastoncini che riportavano, utilmente suddivisa, la tavola pitagorica: i bastoncini erano generalmente realizzati in avorio. Questa ultima circostanza sta all'origine del loro nomignolo: infatti furono ribattezzati confidenzialmente "ossa" di Nepero ed ancora oggi questo è il nome con cui viene solitamente definito questo strumento di calcolo nei paesi di lingua anglosassone.
Le "ossa" si collocano a metà strada tra l'antico abaco e gli strumenti analogici più moderni che fanno la loro comparsa all'inizio del Seicento. Nepero diede il nome di Rabdologia al libro che descrive lo strumento pensando le asticelle come una metafora del bastone del rabdomante (rabdos significa appunto bastone in greco): con i bastoncini, le "Ossa" di Nepero, non si trova l'acqua ma una soluzione rapida delle quattro operazioni!


La Rabdologia fu pubblicata nel 1617, in latino come già Nepero aveva fatto per le opere precedenti. Il successo del libro e delle "ossa" in esso descritte fu immediato: ne uscirono ben presto delle traduzioni in inglese, francese, tedesco ed italiano. Possedere il nuovo strumento di calcolo ben presto diventò un irrinunciabile cult per gli intellettuali della seconda metà del Seicento.

La Rabdologia è l'arte di calcolare tramite bastoncini numerati: si tratta di righelli facilmente maneggiabili.



Uno dei forti limiti degli abachi è la difficoltà di effettuare le moltiplicazioni le quali dovevano essere eseguite, in modo alquanto complicato, come addizioni iterate. Macchine per effettuare le moltiplicazioni sono legate ad un metodo antico di calcolo diffuso presso gli arabi che viene detto a 'graticola' o a 'gelosia'. Tale denominazione viene spiegata da Luca Pacioli nella Summa de Aritmetica del 1494 al modo seguente:<<[per] gelosia intendiamo quelle graticelle che si costumano mettere alle finestre de le case dove habitano done, acio che non si possino facilmente vedere>>.

Ecco il metodo

Dovendo moltiplicare due numeri come 252 e 347, si costruisce un rettangolo diviso in nove rettangoli più piccoli. Ciascun rettangolo viene diviso in due parti da una diagonale come indicato in figura. I numeri da moltiplicare si pongono sui due lati del rettangolo. All’interno dei rettangoli piccoli viene posto il prodotto dei due numeri corrispondenti, scrivendo la parte intera al di sotto della diagonale e le decine al di sopra. Il risultato si ottiene sommando i contenuti delle strisce trasversali individuate dalle diagonali (strisce che corrispondono alle unità, alle decine, alle centinaia ...) e tenendo conto dell'eventuale riporto.



Tale metodo fu ripreso dallo scozzese Giovanni Nepero, il quale propose però di utilizzare, al posto di un disegno su di un foglio una sequenza di bastoncini che corrispondevano alla moltiplicazione per 1, per 2 ...
Tali bastoncini permettevano di moltiplicare un numero di una sola cifra n per un qualunque numero, senza usare la Tavola Pitagorica. Si usava un regolo fisso con i numeri da 0 a 9 sul quale veniva individuato il numero n ad una sola cifra e dieci tipi di regoli mobili, ciascuno diviso in 10 quadrati.
Questi, a loro volta, erano tagliati da una diagonale, sopra la quale stavano i numeri delle decine, mentre sotto stavano i numeri delle unità.

Illustrazione schematica di un bastoncino



Ogni faccia longitudinale è divisa in dieci parti uguali, nove parti all'interno e una decima suddivisa in due metà poste ai due estremi.
La scelta della sezione quadrata rende disponibili su ogni righello quattro facce uguali su cui disporre, uno sotto l'altro i multipli dei numeri da 1 a 9, come nelle usuali tavole pitagoriche: rende anche possibile affiancare un righello all'altro.
Ognuno dei nove quadratini è, a sua volta diviso con la diagonale in due triangoli uguali: per ciascun numero la cifra delle decine si colloca nel triangolo di sinistra, quella delle unità in quello di destra.
L'abbinamento delle numerazioni da inserire nelle facce di uno stesso righello non è casuale, come pure l'ordine ascendente o discendente secondo cui disporre i multipli lungo una stessa faccia.

                   

                                            

 Le facce del primo bastoncino

Raddoppiare, triplicare
I righelli con la loro sequenza di multipli consentono agevolmente di raddoppiare, triplicare, in genere moltiplicare un numero per un fattore da 2 a 9.
Come fare è semplice, forse neanche tanto vantaggioso valutando che il tempo e la fatica che si impiegano con carta e matita non sono molto diversi da quelli che si impiegano servendosi delle "Ossa".
La differenza, a vantaggio dell'uso delle "Ossa", può forse dipendere da una consolidata abitudine a servirsi dello strumento e, quindi, dalla velocità che si acquisisce nel suo uso.
Vediamo come operare per raddoppiare il numero 1615, anno in cui lo strumento era certamente apprezzato:
A. si affiancano quattro righelli che iniziano per 1, 6, 1, 5;
B. nella prima riga relativa ad essi si legge, naturalmente 1615;
C. nella seconda riga si leggono 0/2 1/2 0/2 1/0 (la linea obliqua non rappresenta una frazione ma è l'esemplificazione grafica della posizione dei numeri sulle facce di ciascun bastoncino)
D. appaiando le cifre adiacenti si ha 0/[2 + 1]/[2 + 0]/[2 + 1]/[0]
E. sommando le cifre appaiate si ottiene 3230, esattamente il doppio di 1615.
Ove si volesse leggere il triplo basterebbe leggere la terza riga 0/3 1/8 0/3 1/5, appaiando analogamente le cifre 0/[3 + 1]/[8 + 0]/[3 + 1]/[5] = 4845
La quarta riga porterebbe 0/[4 2]/[4 0]/[4 2]/[0] = 6460
È evidente come la scrittura nei bastoncini dei numeri separando la cifra delle decine da quella delle unità agevoli le normali operazioni di riporto.
Moltiplicare
Il prodotto è ottenuto sommando, secondo le oblique, le due file di cifre che si trovano in corrispondenza della cifra del moltiplicatore riportata sulla cornice. Nell'effettuare le somme 'oblique' è necessario tenere conto dei riporti .
Esempio:   671278 x 852
Linea 2   1 3 4 5 5 5 6
Linea 5  3 3 5 6 3 9 0
Linea 8 5 3 7 0 2 2 4  
        
Risultato 5 7 1 9 2 8 8 5 6

Dividere
Esempio: 4589 : 853
Con i piccoli regoli si imposta il divisore. Si cerca fra le doppie linee orizzontali quella di cui la somma delle prime cifre di sinistra più si avvicina per difetto alle prime cifre del dividendo. Si trova quindi: 4265; la cifra 5 che gli corrisponde nella cornice è la prima del quoziente. Si ottiene nello stesso tempo il prodotto 4265 (5x853) che si trascrive sotto il dividendo. Si fa la differenza e si procede in maniera analoga per completare l'operazione.
4589 : 853
4265             = 5,37
-----
.3240
.2559
------
..6810
..5971
------
  839

• Regolo calcolatore
  

   
L'arte del calcolare misurando

"[..] Lo strumento, nato per facilitare i calcoli, è figlio del rinascimento scientifico del Seicento, ed è frutto di uno spirito positivo che riconosceva l’opportunità per l’uomo e per il suo intelletto di servirsi di ausili tecnici. [..] Il regolo calcolatore basa la sua potenza di calcolo sui logaritmi: fu il matematico inglese Edmund Gunter (1581 – 1626) che per primo ebbe l’idea di rappresentare graficamente i logaritmi di Brigg – cioè in base 10 – riportandoli su un righello di legno... [..] Nella sua opera intitolata De sectore & Ratio pubblicata nel 1623, Gunter descrive le caratteristiche di un regolo formato da due scale logaritmiche che andavano usate insieme a due compassi. Nel 1630 un altro matematico inglese William Oughtred (1574 – 1660) mise due scale una accanto all’altra, rendendo superfluo l’uso dei due compassi e dando allo strumento la forma attuale. Nello stesso anno Richard Delamain realizzò il primo regolo calcolatore circolare che fu chiamato anello matematico..[..] L’efficacia del regolo calcolatore come strumento per la semplificazione dei calcoli fu subito evidente. La capacità operativa era talmente stimata che furono approntati regoli speciali destinati ad attività particolari(industria, finanze, commercio)
[da Wilma di Palma e Lamberto Lamberti, "Le regole del regolo", Bollati Boringhieri editore]

All’inizio della sua storia il regolo parlò decisamente inglese, ma dopo il 1850 la Francia divenne la maggiore produttrice di regoli.
Proprio verso il 1850 Amédée Mannheim, professore di  matematica  e capitano di  artiglieria  dell'esercito francese, ordina le diverse scale del regolo in un modo che verrà ripreso da buona parte dei produttori. Il regolo Mannheim porta le scale dei numeri e quelle dei quadrati sul davanti del corpo e dell'asta e la scala del seno e quella della tangente sul retro dell'asta. Per leggere le scale trigonometriche si deve girare l'asta. Viene spesso attribuito a Mannheim anche un altro semplice, ma fondamentale, contributo: l'introduzione del cursore mobile che rende più semplice e precisa la lettura dello strumento. Probabilmente l'idea fu sviluppata indipendentemente da diverse persone.
Ben presto tuttavia il primato nella produzioni di regoli passò alle ditte tedesche: Faber Castell, Nestler e Dennert & Pape, con il marchio Aristo.

Regolo di tipo Mannheim, Nestler

Nel 1902 l'ingegnere tedesco Max Rietz aggiunge al regolo di Mannheim la scala dei cubi e quella dei logaritmi decimali. Il regolo Rietz porta le scale dei numeri e quelle dei quadrati sul davanti del corpo e dell' asta, la scala dei cubi e quella dei logaritmi decimali sul davanti del corpo, quella del seno e quella della tangente sul retro dell'asta. Due linee di riferimento sul retro del corpo permettono di leggere le scale trigonometriche senza dover girare l' asta. Questo modello di regolo rimarrà il più diffuso fino alla comparsa delle calcolatrici scientifiche.
Nel 1934 all'università di Darmstadt il professor Alwin Walther apporta delle nuove migliorie al regolo di Rietz, introduce la scala pitagorica, sposta la scala dei logaritmi sul fianco posteriore e quelle trigonometriche sul fianco anteriore. Il retro dell'asta rimane così libero per tre scale esponenziali. Questo tipo di regolo, detto anche log log, è molto utile agli ingegneri in quanto permette, grazie alle scale esponenziali, di elevare un numero ad una potenza qualsiasi.

COME FUNZIONA?
Per familiarizzare con il regolo calcolatore, esaminiamo prima il caso di un Regolo additivo.

Eseguire le somme
Procuriamoci due righe, per esempio quelle comuni da disegno da 60 cm e prepariamoci a calcolare:  23+35.  Appoggiamo la prima riga sul tavolo, anzi fissiamola al tavolo col nastro adesivo in modo da non spostarla inavvertitamente, quindi facciamo scorrere l'altra riga parallelamente alla prima, appoggiandosi ad essa, finché lo zero della seconda si trovi in corrispondenza del  23  della prima. Adesso andiamo con l'occhio al  35  della seconda e leggiamo il numero corrispondente ad esso nella prima:  miracolo, leggiamo 58, la somma cercata!  

L'algoritmo è evidente:
1.  abbiamo realizzato due segmenti di lunghezze 23 e 35;
2.  li abbiamo allineati uno dopo l'altro;
3.  così abbiamo costruito un segmento di lunghezza-somma delle due lunghezze;
4.  con la riga fissa abbiamo misurato la lunghezza di tale segmento somma.

Con uno strumento siffatto si possono eseguire anche somme di numeri decimali o addirittura irrazionali, purché leggibili sulle gradazioni riportate sulle righe adoperate.
I limiti di questo strumento sono, naturalmente, quelli evidenti di lavorare con addendi che non superino le lunghezze disponibili: sembra infatti difficile sommare, con un apparecchio fatto con due righe da 60 cm.  75+91  mentre si possono sommare, con assoluta tranquillità, addendi minori di 30.
Tuttavia anche la somma  75+91  può trovare aiuto in uno strumento di due righe da 60 cm: basta sostituire alla somma proposta quella  7.5+9.1  degli stessi addendi divisi per 10, numeri ora ben rappresentabili sullo strumento, e ricordarsi, a somma 16.6 realizzata, di moltiplicare per 10.
A questo punto si capisce che lo strumento anche nella sua modesta lunghezza è in grado di eseguire somme anche cospicue: la somma  1234 + 5678  sarà gestibile tramite la somma  1.234+5.678 .
Certo la difficoltà di leggere con sicurezza tanti decimali è evidente. È probabile che la somma richiesta verrà di fatto approssimata sull'apparecchio con la somma  1.2+5.7 .
II valore letto  6.9  rimoltiplicato per  1000 , produce  6900 , discreta approssimazione del valore esatto  6912=1234+5678 .

Chiameremo d'ora in poi il nostro apparecchio a due righe  regolo additivo , pensando già di averlo leggermente perfezionato, sotto l'aspetto meccanico, sostituendo righe e nastro adesivo con una struttura scorrevole che consenta l'allineamento dei segmenti corrispondenti agli addendi, tale che agevoli la lettura della somma ottenuta.
Un regolo additivo potrebbe essere quello disegnato qui di seguito

La struttura suggerita è evidente
1.  le due righe sono ancora presenti, sono ora da 15 cm;
2.  la prima, inferiore, è fissa allo strumento;
3.  la seconda, quella superiore, è scorrevole;
4.  le tacche numeriche sono affiancate specularmente per facilitare le corrispondenze;
5.  è aggiunto un vetrino scorrevole con una linea verticale che aiuta a leggere le corrispondenze.
La posizione in figura approssima la somma  2.2+7.6 .La riga scorrevole è stata slittata fino ad avere lo zero in corrispondenza del  2.2  della riga fissa, la linea verticale del vetrino scorrevole si trova in corrispondenza del  7.6  della riga scorrevole ed agevola la lettura sulla riga fissa della somma  9.8 .

Eseguire le sottrazioni
Un regolo additivo non esegue solo addizioni ma anche sottrazioni. Per determinare il valore di  12 - 9  si può realizzare un segmento lungo  12  e tagliare da esso una parte lunga  9 .
Con un regolo additivo basterà eseguire l'operazione meccanica simmetrica di quella eseguita per le somme.

1.  Si evidenzia con la linea verticale del vetrino il  12  della scala fissa.
2.  Si porta il  9  dello scorrevole in corrispondenza.
3.  Sotto lo zero dello scorrevole si legge il valore,  3 , valore della differenza cercata.

Limiti dello strumento?
Molti: oltre quelli, prevedibili di dover lavorare con numeri grandi, che eccedano la modesta portata dei valori riportati sullo strumento, ci sono le sottrazioni che producono numeri negativi.
Si può ovviare in vari modi:
1.  il primo è quello, forse non matematico ma certamente pratico, di dichiarare... non eseguirò mai tali sottrazioni!
2.  il secondo è quello di eseguire la sottrazione opposta: in luogo di  a-b  determinare  b-a  e, poi ricordarsi del segno!
3.  il terzo è quello di costruire uno strumento più ampio: nulla vieta di realizzare un regolo additivo in cui siano riportate sia sulla riga fissa che su quella scorrevole tacche corrispondenti ai numeri negativi
Nel regolo sottostante è realizzata la sottrazione  6-8

1.  Si prende il  6  sulla riga fissa evidenziandolo con la verticale del vetrino.
2.  Si allinea il numero  8  della riga scorrevole.
3.  In corrispondenza dello  0  dello scorrevole si legge, sulla scala fissa inferiore, la differenza  - 2 .

Il regolo calcolatore

Nel 1614 Nepero introduce i logaritmi, grandezze tabulate che consentono di ricondurre le moltiplicazioni alle addizioni e le divisioni alle sottrazioni, semplificando grandemente i calcoli. Infatti ricordiamo che la funzione logaritmo (ad esempio in base 10) gode della seguente fondamentale proprietà

log(x⋅y) = log(x)+log(y).

Ne segue che, dovendo moltiplicare i numeri x ed y, posso usare la formula

x⋅y = 10^(log(x)+log(y))

In altre parole:
devo trasformare i numeri x ed y nei rispettivi logaritmi
- devo eseguire l'addizione log(x)+log(y)
- devo tornare indietro tramite la funzione inversa del logaritmo (cioè l'esponenziale).

Scrivendo delle tavole che permettono di associare ad ogni numero il relativo logaritmo e viceversa, si ottiene pertanto che la moltiplicazione si traduce in una semplice somma. Naturalmente per lo stesso motivo la divisione si traduce in una differenza. Le tavole dei logaritmi, soprattutto quelli in base 10 introdotti dall'inglese Henry Briggs (1561-1630), sono state utilizzate proficuamente fino ai giorni nostri. Da notare che il fatto che tali tavole sono scritte in un libro niente toglie al fatto che si tratta a tutti gli effetti di "macchine" per effettuare calcoli. Lo sviluppo naturale delle tavole logaritmiche è proprio il regolo calcolatore.
Il regolo è uno strumento di  calcolo  analogico, che sfrutta le proprietà dei  lt logaritmi . Le  somme  di logaritmi vengono eseguite graficamente, spostando una o più scale logaritmiche.

Si compone di tre parti:
un corpo su cui si trovano delle scale fisse
un'asta scorrevole con delle scale mobili, alcune davanti, altre dietro
un  cursore  con una o più linee di riferimento

I regoli calcolatori portano diverse scale, a dipendenza del tipo. Alcune di queste si trovano su tutti i regoli, altre solo su regoli destinati ad operazioni particolari. Di solito le scale si riconoscono da una lettera scritta sulla sinistra. Le principali sono:
A: scala fissa dei quadrati sul corpo del regolo
B: scala mobile dei quadrati sull'asta
C: scala mobile dei numeri sull'asta
CI: scala dell'inverso dei numeri sull'asta
D: scala fissa dei numeri sul corpo
K: scala fissa dei cubi sul corpo
L: scala fissa dei logaritmi sul corpo
S: scala dei seni, di solito è una scala mobile sull'asta, a volte una scala fissa sul corpo
ST: scala dei seni e delle tangenti per angoli piccoli, di solito è una scala mobile sull'asta, a volte una scala fissa sul corpo
T: scala delle tangenti, di solito è una scala mobile sull'asta, a volte una scala fissa sul corpo

Moltiplicazione

Per moltiplicare tra loro due numeri si esegue la somma dei loro logaritmi. Si porta l' 1 (iniziale o finale) della scala C in corrispondenza del valore del primo fattore sulla scala D. Poi si porta il cursore sul valore del secondo fattore sulla scala C. Sulla scala D si legge il prodotto sotto il cursore..

Divisione
Per la divisione si procede in modo inverso, eseguendo una differenza di logaritmi. Si porta il valore del divisore sulla scala C in corrispondenza del valore del dividendo sulla scala D. Poi si porta il cursore sull' 1 (iniziale o finale) della scala C. Il lt quoziente si legge sotto il cursore sulla scala D.

Quadrato, cubo e logaritmo decimale  

Per trovare il quadrato, il cubo o il logaritmo decimale di un numero si sistema il cursore sopra il detto numero sulla scala D. Il quadrato si legge sulla scala A, il cubo sulla scala K, il logaritmo decimale sulla scala L.

Funzioni trigonometriche

I regoli calcolatori portano le scale S per il seno e T per la tangente di angoli superiori a 6°. Su queste due scale si leggono gli angoli, rappresentano quindi le funzioni trigonometriche inverse. Per trovare quindi il seno di un angolo si allinea il cursore con il valore dell'angolo sulla scala S e si legge il seno sulla scala C in cui il valore massimo va interpretato come un 1 ed il minimo come uno 0,1. Similmente sulla scala T per trovare la tangente e sulla scala ST per trovare seno e tangente di un angolo minore di 6°.

Elevamento a potenza  
L'elevamento ad una potenza qualsiasi si può eseguire solo con i regoli che portano le scale log log

Risoluzione di equazioni di secondo grado  

Con il regolo calcolatore si possono risolvere equazioni di secondo grado della forma x2 + ax = b con a e b positivi. Queste equazioni hanno due soluzioni reali, una positiva, l'altra negativa. Con il regolo si trova la soluzione positiva. Si mette il valore a della scala C sotto l' 1 della scala A (attenzione: non sotto il 10). A questo punto si deve cercare il punto in cui la somma dei valori della scala A e C sotto il cursore sia uguale al valore b. Il valore sulla scala A sarà  , sulla scala D si legge x1. Per trovare la soluzione negativa x2 basta calcolare   x2=- b/x1.